Bilangan Desimal
Pada umumnya dalam kehidupan
sehari-hari kita menggunakan sistem bilangan desimal, yaitu bilangan yang
terdiri dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dari deretan angka-angka diatas maka
setelah angka 9 akan terjadi angka-angka yang lebih besar seperti 10, 11, 12,
13 dan seterusnya. Angka-angka tersebut merupakan kombinasi dari angka 0 sampai
9. Angka-angka 0 sampai 9 ini dinamakan desimal digit, dimana
harga-harga dari desimal digit tersebut tergantung dari letak urutannya
atau yang disebut harga tempat. Jadi bilangan desimal mempunyai 10 suku angka
atau disebut juga radik. Radik adalah banyaknya suku angka atau digit
yang dipergunakan dalam suatu sistim bilangan. Dengan demikian maka RADIX suatu
sistem bilangan dapat ditentukan dengan rumus R = n + 1. Dimana R = Radik
dan n = angka akhir dari sistem bilangan.
Setiap sistem bilangan mempunyai
RADIX yang berbeda seperti:
–
Sistem bilangan Biner mempunyai Radix = 2
–
Sistem bilangan Oktal mempunyai Radix = 8
–
Sistem bilangan Desimal mempunyai Radix = 10
–
Sistem bilangan Hexadesimal mempunyai Radix = 16
Bilangan Biner
Perlu diketahui bahwa pada rangkaian
digital atau rangkaian logika sistem operasinya menggunakan prinsip
adanya dua kondisi yang pasti yaitu:
–
Logika “1” atau “0”
–
Ya atau Tidak
–
High atau Low
–
True (benar) atau False (salah)
–
Terang atau Gelap
Kondisi-kondisi tersebut dapat
dilukiskan sebagai saklar yang sedang menutup (on) dan saklar yang sedang
terbuka (off). Metode bilangan yang sesuai dengan prinip kerja dari
saklar tersebut adalah penerapan bilangan biner atau dalam bahasa asingnya
binary number. Pada bilangan biner jumlah digitnya adalah dua yaitu “0”
dan “1”, sedangkan untuk sistim bilangan lainnya adalah seperti berikut ini:
–
Bilangan biner (2 digit): 0, 1
–
Bilangan oktal (8 digit): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
–
Bilangan desimal (10 digit) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
–
Bilangan hexadesimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Seperti sudah dijelaskan diatas
bahwa bobot bilangan dari suatu sistim bilangan tergantung dari letak susunan digitnya
atau disebut juga harga tempat.
Harga tempat dari bilangan desimal
adalah:
Dst. ———
10.000 1.000
100 10 1
10n
——— 104
103 102
101 10
Berdasarkan harga tempat diatas,
maka kita dapat menentukan bobot bilangan dari suatu sistem bilangan tertentu.
Sebagai contoh misalnya bilangan desimal 4567 atau ditulis (4567)10
mempunyai bobot bilangan sebagai berikut:
Dst. ———
10.000 1.000
100
10 1
———
4 x 103 5 x 102
6 x 101 7 x 10
Jadi (4567)10 = 4000 +
500 + 60 + 7
Harga tempat dari bilangan biner
adalah:
Biner
|
28
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
Desimal
|
256
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
Perlu diketahui bahwa angka biner
yang dipergunakan dalam sistim bilangan biner disebut BIT (Binary Digit).
Sebagai contoh misalnya:
101 = 3 BIT
1101 = 4 BIT
11101 = 5 BIT
BILANGAN
BINER
|
BILANGAN
DESIMAL
|
0
0 0 0
|
0
|
0
0 0 1
|
1
|
0
0 1 0
|
2
|
0
0 1 1
|
3
|
0
1 0 0
|
4
|
0
1 0 1
|
5
|
0
1 1 0
|
6
|
0
1 1 1
|
7
|
1
0 0 0
|
8
|
1
0 0 1
|
9
|
1
0 1 0
|
10
|
1
0 0 1
|
11
|
1
1 0 0
|
12
|
1
1 0 1
|
13
|
1
1 1 0
|
14
|
1
1 1 1
|
15
|
Dari tabel diatas terlihat bahwa
angka 1 bilangan biner akan bertambah besar apabila bergeser kekiri. Dengan
demikian digit paling kiri merupakan angka satuan yang terbesar dan digit
paling kanan merupakan angka satuan terkecil.
3. Merubah bilangan
biner menjadi bilangan desimal
Dalam perhitungan operasi logika
pada umumnya bilangan biner diberi tanda (….)2 sedangkan bilangan
desimal diberi tanda (….)10. Adapun maksud penandaan tersebut adalah
untuk membedakan jenis dan tiap-tiap sistem bilangan.
Contoh: Bilangan
biner
(1101)2
Bilangan oktal
(142)8
Bilangan
desimal
(96)10
Bilangan hexadesimal (2B)16
Contoh soal:
Rubahlah bilangan biner (11101)2
menjadi bilangan desimal
Soal diatas dapat diselesaikan
dengan 3 cara yaitu:
Cara pertama:
Biner
|
28
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
Desimal
|
256
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
Biner
|
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
Jadi bilangan biner (11101)2 =
16+8+4+1 = 29
Cara kedua:
(11101)2 = (1×24)
+ (1×23) + (1×22) + (0x21) + (1×20)
= 16+8+4+0+1
= (29)10
Cara ketiga:
1
1
1
0
1 (11101)10
1×2=2+1=3×2=6+1=7×2=14+0=14 x 2=
28+1= 29
4. Merubah bilangan
desimal menjadi bilangan biner
Untuk merubah bilangan desimal
menjadi bilangan biner dapat dilakukan dengan dua cara yaitu: Menggunakan harga
tempat dan membagi dua terus menerus bilangan desimal.
Contoh: Rubahlah bilangan desimal
(53)10 menjadi bilangan biner.
Jawab: cara pertama dengan
menggunakan harga tempat
Biner
|
28
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
Desimal
|
256
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
(53)10 = 32 + 16 + 0 + 4
+ 0 + 1
= 25 + 24
+ 0 + 22 + 0 + 20
=
1 1
0 1 0 1
Jadi (53)10 = (110101)2
Cara kedua:
Dengan membagi 2 terus menerus
sampai sisanya menjadi 0 atau 1 dan pembacaannya mulai dari bawah.
53/2 = 26 sisa 1
26/2 = 13 sisa 0
13/2 = 6 sisa 1
6/2 = 3 sisa 0
3/2 = 1 sisa 1
1/2 = 0 sisa 1
1
1 0
1 0 1
Jadi (53)10 = (110101)2
5. Bilangan Oktal
Dalam rangkaian logika selain
bilangan desimal dan bilangan biner, kita mengenal pula bilangan oktal.
Bilangan oktal mempunyai 8 buah digit yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
radik bilangan oktal adalah 8. Dalam bilangan oktal tidak angka 8 dan 9, angka
selanjutnya setelah angka 7 adalah angka 10, 11, 12 dan seterusnya. Agar lebih
jelas perhatikan bilangan oktal dibawah ini.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 selanjutnya
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, selanjutnya 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
selanjutnya 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 dan seterusnya.
Sama halnya dengan bilangan biner
dan bilangan desimal, bilangan oktal mempunyai harga tempat seperti dibawah
ini:
Oktal
|
84
|
83
|
82
|
81
|
80
|
Desimal
|
4096
|
512
|
64
|
8
|
1
|
6. Merubah bilangan
oktal menjadi bilangan desimal
Untuk merubah bilangan oktal menjadi
bilangan desimal dapat dilakukan dengan harga tempat. Caranya adalah dengan
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
- Letakkan bilangan oktal dibawah harga tempatnya
- Kalikan masing-masing digit dari bilangan oktal
sesuai dengan harga tempatnya
- Jumlahkan hasil perkalian masing-masing digit
bilangan oktal
- Contoh: Rubahlah bilangan oktal (234)8 menjadi bilangan
desimal
Penyelesaian:
Oktal
|
82
|
81
|
80
|
Desimal
|
64
|
8
|
1
|
2
3 4
4×80 = 4×1 = 4
3×81 = 3×8 = 24
2×82 = 2×64 = 128
Jumlah = 156
Jadi (234)8 = (156)10
7. Merubah bilangan
desimal menjadi bilangan oktal
Merubah bilangan desimal menjadi
bilangan oktal dapat dilakukan dengan menggunakan harga tempat dan membagi 8
bilangan desimal terus menerus dan hasilnya dibaca dari bawah keatas.
Contoh: Rubahlah bilangan desimal
(97)10 menjadi bilangan oktal
Penyelesaian: angka 97 = 64 + 32 + 1
Oktal
|
82
|
81
|
80
|
Desimal
|
64
|
8
|
1
|
(97)10 = 1×64 +
4×8 + 1
(97)10 = 1×82
+ 4×81 + 1×80
(97)10 = (141)8
Rubahlah bilangan desimal (678)10
menjadi bilangan oktal.
Soal diatas dapat diselesaikan
dengan mudah dan sederhana dengan cara membagi 8 bilangan desimal secara terus
menerus.
678/8 = 84 sisa 6
84/8 = 10 sisa 4
10/8 = 1 sisa 2
1/8 = 0
sisa 1 Dibaca dari bawah keatas =
(1246)8
8. Merubah bilangan
oktal menjadi bilangan biner
Untuk merubah bilangan oktal menjadi
bilangan biner dapat dilakukan dengan cara merubah setiap angka dari bilangan
oktal menjadi bilangan biner 3 bit.
Contoh:
Rubahlah bilangan oktal (65)8
menjadi bilangan biner
Penyelesaian:
(65)8
6 = (110)2
5 = (101)2
Jadi (65)8 = (110 101)2
9. Merubah bilangan
biner menjadi bilangan oktal
Untuk merubah bilangan biner menjadi
bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara mengelompokkan bilangan biner 3 bit
mulai dari sebelah kanan, kemudian kelompok tiga bit tersebut diubah kedalam
bilangan dasan.
Contoh:
Rubahlah bilangan biner (101110111)2
menjadi bilangan oktal
Penyelesaian:
(101110111)2
(101 110 111)2
5 6 7
Jadi (101110111)2 = (567)8
10. Bilangan Hexadesimal
Bilangan hexadesimal mempunyai 16
suku angka/digit seperti berikut ini: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C, D, E, F. Huruf-huruf A sampai F adalah sebagai pengganti dari angka-angka
bilangan desimal mulai dari 10 sampai 15.
(A)16 = (10)2
(D)16 = (13)10
(B)16 = (11)2
(E)16 = (14)10
(C)16 = (12)2
(F)16 = (15)10
Seperti juga halnya dengan sistem
bilangan lainnya, maka sistem bilangan hexadesimal juga mempunyai harga tempat
seperti dibawah ini.
Hexadesimal
|
163
|
162
|
161
|
160
|
Desimal
|
4096
|
256
|
16
|
1
|
Urutan bilangan hexadesimal dan
bilangan lainnya adalah seperti dibawah ini.
Persamaan bilangan
Hexsadesimal
|
Desimal
|
Oktal
|
Biner
|
1
|
1
|
1
|
0001
|
2
|
2
|
2
|
0010
|
3
|
3
|
3
|
0011
|
4
|
4
|
4
|
0100
|
5
|
5
|
5
|
0101
|
6
|
6
|
6
|
0110
|
7
|
7
|
7
|
0111
|
8
|
8
|
10
|
1000
|
9
|
9
|
11
|
1001
|
A
|
10
|
12
|
1010
|
B
|
11
|
13
|
1011
|
C
|
12
|
14
|
1100
|
D
|
13
|
15
|
1101
|
E
|
14
|
16
|
1110
|
F
|
15
|
17
|
1111
|
11. Merubah bilangan hexadesimal
menjadi bilangan biner
Untuk merubah bilangan hexadesimal
menjadi bilangan biner dapat ditempuh dengan cara merubah setiap digit
dari bilangan hexadesimal menjadi bilangan biner 4 bit, kemudian menyusunnya
berdasarkan urutannya. Bilangan hexadesimal dalam penulisannya diberi tanda
(….)16 untuk membedakan dengan bilangan lainnya.
Contoh:
Rubahlah bilangan hexadesimal
(B4C)16 menjadi bilangan biner.
Penyelesaian: (B)16 = (1011)2
(4)16 = (0100)2
(C)16 = (1100)2
Jadi bilangan hexadesimal (B4C)16 =
(1011 0100 1100)2
12. Merubah bilangan biner menjadi
bilangan hexadesimal
Cara yang mudah untuk merubah
bilangan biner menjadi bilangan hexadesimal ialah dengan cara mengelompokkan
setiap 4 bit bilangan biner mulai dari digit paling kanan. Kemudian
setelah dikelompokkan, tiap kelompok 4 bit tersebut dirubah menjadi bilangan
hexadesimal.
Contoh:
Rubahlah bilangan biner (11010101)2
menjadi bilangan hexadesimal.
Penyelesaian:
(11010101)2
kelompok sebelah kiri (1101)2 = (D)16
kelompok sebelah kanan (0101)2 = (5)16
Jadi (11010101)2 = (D5)16
Soal: Rubahlah bilangan biner
(101000101011)2 menjadi bilangan hexadesimal.
Penyelesaian:
(101000101011)2 = (1010
0010 1011)2 = (A 2 B)16
13. Merubah bilangan hexadesimal
menjadi bilangan desimal
Untuk merubah bilangan hexadesimal
menjadi bilangan desimal dapat dilakukan dengan cara seperti dibawah ini.
Rubahlah bilangan hexadesimal menjadi bilangan desimal.
(2B)16 = (…..)10
Penyelesaian:
Pertama-tama ubah bilangan
hexadesimal menjadi bilangan biner.
(2B)16
(2)16 = (0010)2
(B)16 = (1011)2
Hasilnya adalah (2B)16 =
(0010 1011)2
Selanjutnya bilangan biner (0010
1011)2 dirubah dalam bentuk bilangan desimal = (211)10
Soal diatas juga dapat diselesaikan dengan menggunakan
harga tempat.
Hexadesimal
|
163
|
162
|
161
|
160
|
Desimal
|
4096
|
256
|
16
|
1
|
|
|
|
2
|
B
|
(2B)16 = (2×161)
+ (11×160)
= 2×16 + 11×1
= 32 + 11
= 43 Jadi bilangan
hexadesimal (2B)16 = (43)10
Rangkuman
- Bilangan desimal ialah bilangan yang terdiri dari
angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Dari deretan angka-angka
diatas maka setelah angka 9 akan terjadi angka-angka yang lebih besar
seperti 10, 11, 12, 13 dan seterusnya.
- Pada rangkaian digital atau rangkaian logika
sistem operasinya menggunakan prinsip adanya dua kondisi yang pasti yaitu
: Logika “1” atau “0”, Ya atau Tidak, High atau Low, True
(benar) atau False (salah), Terang atau Gelap. Pada bilangan biner
jumlah digitnya adalah dua yaitu “0” dan “1”.
- Bilangan oktal mempunyai 8 buah digit yaitu 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, radik bilangan oktal adalah 8. Dalam bilangan oktal
tidak angka 8 dan 9, angka selanjutnya setelah angka 7 adalah angka 10,
11, 12 dan seterusnya.
- Bilangan hexadesimal mempunyai 16 suku angka/digit
seperti berikut ini: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Huruf-huruf A sampai F adalah sebagai pengganti dari angka-angka bilangan
desimal mulai dari 10 sampai 15.
- Persamaan aljabar Boolean mengenal beberapa hukum,
yaitu Hukum identitas, Hukum Komutatif, Hukum Asosiatif, Hukum
Distributif, Hukum Absortif dan Hukum Demorgan.